Matematická výzva z olympiády v Nórsku: Krása logiky a čísiel, ktorú zvládne každý!

25.11.2024 Redakcia Vášeň v tebe (Foto: súkromný archív).

Matematická olympiáda je skvelou príležitosťou nielen pre študentov, ale aj pre nadšencov matematiky, aby si preverili svoje schopnosti a potešili sa krásou logických riešení. Takéto úlohy ukazujú, že aj veľké čísla sa dajú spočítať s rozvahou, bez pomoci technológií. Precízny postup a znalosť pravidiel robia z riešenia matematiku v jej najčistejšej podobe. Prečo bez kalkulačky? Lebo tým objavujeme pravý dôvtip a logiku za číslami!

Mocniny čísla 2 majú v matematike a technológii zásadné využitie. Nájdeme ich v binárnom kóde, ktorý je základom fungovania počítačov a digitálnych technológií. Každý bit, bajt alebo kapacita pamäte je založená na mocninách dvojky – napríklad 1 bajt má 8 bitov, čo predstavuje 2⁸ = 256 možných hodnôt. Rovnako sa s mocninami stretávame pri šifrovaní dát, kompresii súborov alebo výpočtoch veľkých čísel v astronómii či fyzike. Tieto jednoduché princípy nám ukazujú, že za veľkými objavmi a technológiami stoja pevné matematické základy – práve ako tie, ktoré použijeme pri riešení dnešnej úlohy!

Predtým, než sa pustíme do riešenia rovnice 2¹⁸−1, je dobré si zopakovať niekoľko základných pravidiel matematiky. Kľúčové sú vlastnosti mocnín – napríklad, že (aⁿ)^m = a ^n⋅m, a tiež znalosti rozkladu čísiel na jednoduchšie časti. Okrem toho nám pomôže osvojiť si výpočty druhých mocnín a rozklad veľkých čísiel pomocou vzorca (a + b)² = a² + 2ab + b². S týmito nástrojmi bude riešenie prekvapivo jednoduché, a to bez akejkoľvek technológie!

Krok 1: Rozloženie mocniny

Matematická vlastnosť mocnín hovorí, že:

(aⁿ)^m = aⁿ⋅^m

2¹⁸ = (2⁹)²

Najprv vypočítame 2⁹:

2⁹ = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 512

Krok 2: Dosadenie do vzorca

Keďže 2¹⁸ = (2⁹)², máme:

2¹⁸ = 512²

Krok 3: Výpočet 512²

Použijeme vzorec na druhú mocninu:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Rozložíme 512 na 500 + 12:

512² = (500+12)² = 500² + 2⋅500⋅12 + 12²

Teraz vypočítame jednotlivé časti:

500² = 250 000

2⋅500⋅12 = 12 000

12² = 144

Sčítame:

512² = 250 000 + 12 000 + 144 = 262 144

Krok 4: Odčítanie 1

Teraz už len odčítame 1:

2¹⁸ − 1 = 262 144 − 1 = 262 143

Výsledok:

2¹⁸ − 1 = 262 143

Vedeli ste, že …

A ešte niečo z histórie: už starovekí indickí matematici, ako napríklad Āryabhaṭa, skúmali pravidlá mocnín a veľkých čísel, keď sa snažili vypočítať vzdialenosti medzi planétami a hviezdami. Tá istá matematika, ktorú dnes riešime na olympiádach, pomohla ľudstvu pochopiť vesmír! Fascinujúce, však?

Ďakujeme, že ste si s nami užili túto matematickú výzvu! Matematika je nielen nástroj, ale aj krásna cesta k objavovaniu a tvorivému mysleniu. Veríme, že ste si precvičili logiku a našli radosť vo svojom riešení. Tešíme sa na ďalšie úlohy, ktoré nám dokážu, aká je matematika fascinujúca! 

Redakcia vášeň v tebe.

Súvisiace články:

Tu je hádanka len pre géniov. Vyriešiť ju vedia len ľudia s IQ vyšším ako 150

Matematický hlavolam: pravdepodobnosť a stratégia. Ako prežiť v matematickej prestrelke?

Ďakujeme, že ste si prečítali náš článok. Odporúčame vám sledovať nás v službe Google News.